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《中公版·2018考研数学：15年真题详解及解题技巧（数学一）》包含2003～2017年共15年的真题。每套题均由试题和参考答案及解析组成，且每道题目都配有二维码，考生可扫码观看视频讲解。大部分真题的参考答案包含“【思路点拨】

【解析】

【考点重现】”三个部分：【思路点拨】是对本题解析过程的浓缩和同类型题目解答思路的总结；【解析】给出了题目的详细解答，某些题目给出了多种解题方法；【考点重现】对本题所涉及的知识点做了简单的总结，包括重要的计算公式、定理等。

一、考试形式和试卷结构分析

二、历年真题题型、题量分析

三、历年真题考点分析

考研数学备考手册

一、考研数学备考三阶段

（一）阶段——基础复习

（二）第二阶段——强化提高

（三）第三阶段——考前冲刺

二、考研数学临场应战技巧

（一）合理控制时间分配，有取有舍

（二）妥善安排解题顺序，先易后难

（三）看清题干，注意条件（12）

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　　2015年全国硕士研究生招生考试

　　数学（一）试题

　　(科目代码:301)

　　题型填空题选择题解答题分值24分24分102分自测分2003年全国硕士研究生招生考试

　　数学（一）试题

　　视频讲解

　　一、填空题:本题共6小题，每小题4分，满分24分。把答案填在题中横线上。

　　（1）limx→0(cosx)1ln(1+x2)=。

　　视频讲解

　　（2）曲面z=x2+y2与平面2x+4y-z=0平行的切平面的方程是。

　　视频讲解

　　（3）设x2=∑∞n=0ancosnx(-π≤x≤π)，则a2=。

　　视频讲解

　　（4）从R2的基α1=1

　　0,α2=1

　　-1到基β1=1

　　1,β2=1

　　2的过渡矩阵为。

　　视频讲解

　　（5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=6x,0≤x≤y≤1,

　　0,其他,则P{X+Y≤1}=。

　　视频讲解

　　（6）已知一批零件的长度X(单位：cm)服从正态分布N(μ,1)，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40(cm)，则μ的置信度为0.95的置信区间是。

　　(注：标准正态分布函数值Φ(1.96)=0.975,Φ(1.645)=0.95)

　　二、选择题:本题共6小题，每小题4分，满分24分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

　　视频讲解

　　（1）设函数f(x)在(-∞,+∞)内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有()

　　(A)一个极小值点和两个极大值点。

　　(B)两个极小值点和一个极大值点。

　　(C)两个极小值点和两个极大值点。

　　(D)三个极小值点和一个极大值点。

　　视频讲解

　　（2）设{an},{bn},{cn}均为非负数列，且limn→∞an=0,limn→∞bn=1,limn→∞cn=∞,则必有()

　　(A)an

　　(C)极限limn→∞ancn不存在。(D)极限limn→∞bncn不存在。

　　视频讲解

　　（3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且limx→0,y→0f(x,y)-xy(x2+y2)2=1，则()

　　(A)点(0,0)不是f(x,y)的极值点。

　　(B)点(0,0)是f(x,y)的极大值点。

　　(C)点(0,0)是f(x,y)的极小值点。

　　(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点。

　　视频讲解

　　（4）设向量组（Ⅰ）：α1,α2,…,αr可由向量组（Ⅱ）：β1,β2,…,βs线性表示，则()

　　(A)当r

　　(B)当r>s时，向量组（Ⅱ）必线性相关。

　　(C)当r

　　(D)当r>s时，向量组（Ⅰ）必线性相关。

　　视频讲解

　　（5）设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0,其中A,B均为m×n矩阵，现有四个命题：

　　①若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)≥秩(B)；

　　②若秩(A)≥秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解；

　　③若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)；

　　④若秩(A)=秩(B)，则Ax=0与Bx=0同解。

　　以上命题中正确的是()

　　(A)①②。(B)①③。

　　(C)②④。(D)③④。

　　视频讲解

　　（6）设随机变量X~t(n)(n>1),Y=1X2，则()

　　(A)Y~χ2(n)。(B)Y~χ2(n-1)。

　　(C)Y~F(n,1)。(D)Y~F(1,n)。

　　三、（本题满分10分）

　　视频讲解

　　过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形D。

　　(Ⅰ)求D的面积A；

　　（Ⅱ）求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积V。

　　四、（本题满分12分）

　　视频讲解

　　将函数f(x)=arctan1-2x1+2x展开成x的幂级数，并求级数∑∞n=0(-1)n2n+1的和。

　　五、（本题满分10分）

　　视频讲解

　　已知平面区域D={(x,y)0≤x≤π,0≤y≤π}，L为D的正向边界。试证：

　　(Ⅰ)∮Lxesinydy-ye-sinxdx=∮Lxe-sinydy-yesinxdx;

　　（Ⅱ）∮Lxesinydy-ye-sinxdx≥2π2。

　　六、（本题满分10分）

　　视频讲解

　　某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层。汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而做功。设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k,k>0）。汽锤次击打将桩打进地下am。根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所做的功与前一次击打时所做的功之比为常数r(0

　　（Ⅱ）若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？

　　（注：m表示长度单位米。）

　　七、（本题满分12分）

　　视频讲解

　　设函数y=y(x)在(-∞,+∞)内具有二阶导数，且y′≠0,x=x(y)是y=y(x)的反函数。

　　(Ⅰ)试将x=x(y)所满足的微分方程d2xdy2+(y+sinx)dxdy3=0变换为y=y(x)满足的微分方程；

　　（Ⅱ）求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0,y′(0)=32的解。

　　八、（本题满分12分）

　　视频讲解

　　设函数f(x)连续且恒大于零，

　　F(t)=Ω(t)f(x2+y2+z2)dvD(t)f(x2+y2)dσ，G(t)=D(t)f(x2+y2)dσ∫t-tf(x2)dx，

　　其中Ω(t)={(x,y,z)x2+y2+z2≤t2}，D(t)={(x,y)x2+y2≤t2}。

　　(Ⅰ)讨论F(t)在区间(0,+∞)内的单调性;

　　（Ⅱ）证明当t>0时，F(t)>2πG(t)。

　　九、（本题满分10分）

　　视频讲解

　　设矩阵A=322

　　232

　　223，P=010

　　101

　　001，B=P-1A*P，求B+2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为三阶单位矩阵。

　　十、（本题满分8分）

　　视频讲解

　　已知平面上三条不同直线的方程分别为

　　l1:ax+2by+3c=0，

　　l2:bx+2cy+3a=0，

　　l3:cx+2ay+3b=0。

　　试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0。

　　十一、（本题满分10分）

　　视频讲解

　　已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品。从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：

　　(Ⅰ)乙箱中次品件数的数学期望；

　　（Ⅱ）从乙箱中任取一件产品是次品的概率。

　　十二、（本题满分8分）

　　视频讲解

　　设总体X的概率密度为f(x)=2e-2(x-θ),x>θ,

　　0,x≤θ,其中θ>0是未知参数。从总体X中抽取简单随机样本X1,X2,…,Xn，记θ^=min{X1,X2,…,Xn}。

　　(Ⅰ)求总体X的分布函数F(x);

　　（Ⅱ）求统计量θ^的分布函数Fθ^(x)；

　　（Ⅲ）如果用θ^作为θ的估计量，讨论它是否具有无偏性。2003年全国硕士研究生招生考试

　　数学（一）试题参考答案及解析

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