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不可能的事情和可能的事情一样，都能给人启发

圆规与直尺的伟大“戏法”，寻找数学瑰宝的千年之旅

◎ 编辑推荐

三等分角 | 倍立方 | 作正多边形 | 化圆为方

在四大尺规作图难题诞生之初，谁能想到这场探险会持续2000年之久？

多少英才献上毕生精力，欧几里得、阿基米德、韦达、笛卡儿、牛顿、高斯、达•芬奇、拿破仑、林肯……纷纷加入这场“烧脑”苦战。最后的证明结论居然是——“不可能”！

说起来容易，做起来难——这正是尺规作图难题的写照。让我们坐上数学时光机，看人类如何突破知识的边界，从貌不惊人的尺规作图中发现实数、复数、解析几何、代数、数论、微积分等诸多宝藏。尽管它已被证明无解，但其中蕴藏的思想，对今天的科学探索有着重要的启发。至今，仍有人念念不忘，试图从中发现更多奥秘。

◎ 本书特色

☆ 视角独特，探索尺规问题中的数学宝藏

☆ 可读性强，数学知识、奇闻趣事交错呈现

☆ 插图丰富，证明思路清晰简洁

☆ 威廉·邓纳姆（《微积分的历程》作者）、本·奥尔林（《欢乐数学》作者）、弗朗西斯·苏（前美国数学协会主席）、格伦·惠特尼（美国国家数学博物馆创始人）联袂推荐

◎ 内容简介

本书以数学史上四大著名的“古代问题”——化圆为方、三等分角、倍立方、作圆内接正多边形为基础，展现了两千多年来，数学家们为解决这些问题而留下的令人拍案叫绝的思想与成就。尺规作图“不可能”解决的问题成为欧几里得、笛卡儿、牛顿和高斯等数学巨擘攀登数学高峰的阶梯，其解决方法也延伸至整个数学领域，众多重大数学发现皆与它们息息相关。这段探索之旅将读者从古典时期引领到今天，纵观两千年来这四个无法解决的问题如何引导、启发人们数学思维的发展，并发掘了数学史中的种种细节。本书适合对数学、数学史感兴趣的读者，尤其是几何爱好者阅读。

◎ 专业书评

这是一个数学寻宝传奇。这本书是一个百宝箱：有趣的证明、历史的惊喜、丰富的故事、令天才和怪才苦苦探索的数学奥秘。这是数学史上的伟大戏法，读完让人心满意足。

——本·奥尔林《欢乐数学：一本充满“烂插画”的快乐数学启蒙书》作者

不可能性已被编织进数学的架构之中。这本书告诉大家，不可能的事情和可能的事情一样，都能给人启发。所有数学爱好者都会在这里挖掘到宝藏。

——弗朗西斯·苏，前美国数学协会主席，《为人类繁荣之数学》作者

鲜为人知的数学知识、丰富的插图、充实的引文，以及众多有趣的故事，让人眼前一亮。

——威廉·邓纳姆 《微积分的历程》作者

林肯、拿破仑、一场戏剧性的决斗、横跨两千多年的惊人智力角逐被连在一起，构成一段了不起的故事。作者展开古老而熟悉的逻辑挑战，同时发现更多耐人寻味的想法和细节，即使对非常了解数学的人来说，这本书都是新奇的。

——格伦·惠特尼，美国国家数学博物馆创始人

◎ 媒体评价

历史的叙述、珍贵的传记、有趣的闲话，让人读起来妙趣横生。这也是一部具有学术性的作品，书后附有丰富脚注，不会打断阅读节奏。

——罗伯特·拉德利，《数学视野》

作者清楚地解释了不可解的问题意味着什么，并援引了其他不可能的结果，详细介绍了用多种工具进行的几何构造，并讨论了出现的错误证明和科妄。

——《数学杂志》

作者的文字将带领读者踏上历史之旅，寻找这些问题的解决方法。数学新手和专业人士都会喜欢这本精心编写又有趣的书，强烈推荐。

——美国图书馆协会《选择》期刊

◎ 读者评论

本书很好地把历史和数学结合在一起。这里有许多有趣的历史人物，还有很多数学中的“闲话”，使这本书有了一定的深度。

——Amazon读者

在漫长的两千年中，我们看到一些伟大的思想在问题中挣扎，发明技术、发展概念、创造新的数学分支（如代数和分析）、完善和扩展其他的数学分支（如几何和数论），最终达到有足够成熟的工具来永远解决这个问题的地步。这真的是一本精彩的书，讲述了一个了不起的故事！它让我们看到，有时问题本身真的比解决方案要重要得多……

——GoodReads读者

不可能的事情和可能的事情一样，都能给人启发

圆规与直尺的伟大“戏法”，寻找数学瑰宝的千年之旅

◎ 编辑推荐

三等分角 | 倍立方 | 作正多边形 | 化圆为方

在四大尺规作图难题诞生之初，谁能想到这场探险会持续2000年之久？

多少英才献上毕生精力，欧几里得、阿基米德、韦达、笛卡儿、牛顿、高斯、达•芬奇、拿破仑、林肯…… 纷纷加入这场“烧脑”苦战。最后的证明结论居然是——“不可能”！

说起来容易，做起来难——这正是尺规作图难题的写照。让我们坐上数学时光机，看人类如何突破知识的边界，从貌不惊人的尺规作图中发现实数、复数、解析几何、代数、数论、微积分等诸多宝藏。尽管它已被证明无解，但其中蕴藏的思想，对今天的科学探索有着重要的启发。至今，仍有人念念不忘，试图从中发现更多奥秘。

◎ 本书特色

☆ 视角独特，探索尺规问题中的数学宝藏

☆ 可读性强，数学知识、奇闻趣事交错呈现

☆ 插图丰富，证明思路清晰简洁

☆ 威廉·邓纳姆（《微积分的历程》作者）、本·奥尔林（《欢乐数学》作者）、弗朗西斯·苏（前美国数学协会主席）、格伦·惠特尼（美国国家数学博物馆创始人）联袂推荐

◎ 内容简介

本书以数学史上四大著名的“古代问题”——化圆为方、三等分角、倍立方、作圆内接正多边形为基础，展现了两千多年来，数学家们为解决这些问题而留下的令人拍案叫绝的思想与成就。尺规作图“不可能”解决的问题成为欧几里得、笛卡儿、牛顿和高斯等数学巨擘攀登数学高峰的阶梯，其解决方法也延伸至整个数学领域，众多重大数学发现皆与它们息息相关。这段探索之旅将读者从古典时期引领到今天，纵观两千年来这四个无法解决的问题如何引导、启发人们数学思维的发展，并发掘了数学史中的种种细节。本书适合对数学、数学史感兴趣的读者，尤其是几何爱好者阅读。

◎ 专业书评

这是一个数学寻宝传奇。这本书是一个百宝箱：有趣的证明、历史的惊喜、丰富的故事、令天才和怪才苦苦探索的数学奥秘。这是数学史上的伟大戏法，读完让人心满意足。

——本·奥尔林《欢乐数学：一本充满“烂插画”的快乐数学启蒙书》作者

不可能性已被编织进数学的架构之中。这本书告诉大家，不可能的事情和可能的事情一样，都能给人启发。所有数学爱好者都会在这里挖掘到宝藏。

——弗朗西斯·苏，前美国数学协会主席，《为人类繁荣之数学》作者

鲜为人知的数学知识、丰富的插图、充实的引文，以及众多有趣的故事，让人眼前一亮。

——威廉·邓纳姆 《微积分的历程》作者

林肯、拿破仑、一场戏剧性的决斗、横跨两千多年的惊人智力角逐被连在一起，构成一段了不起的故事。作者展开古老而熟悉的逻辑挑战，同时发现更多耐人寻味的想法和细节，即使对非常了解数学的人来说，这本书都是新奇的。

——格伦·惠特尼，美国国家数学博物馆创始人

◎ 媒体评价

历史的叙述、珍贵的传记、有趣的闲话，让人读起来妙趣横生。这也是一部具有学术性的作品，书后附有丰富脚注，不会打断阅读节奏。

——罗伯特·拉德利，《数学视野》

作者清楚地解释了不可解的问题意味着什么，并援引了其他不可能的结果，详细介绍了用多种工具进行的几何构造，并讨论了出现的错误证明和科妄。

——《数学杂志》

作者的文字将带领读者踏上历史之旅，寻找这些问题的解决方法。数学新手和专业人士都会喜欢这本精心编写又有趣的书，强烈推荐。

——美国图书馆协会《选择》期刊

◎ 读者评论

本书很好地把历史和数学结合在一起。这里有许多有趣的历史人物，还有很多数学中的“闲话”，使这本书有了一定的深度。

——Amazon读者

在漫长的两千年中，我们看到一些伟大的思想在问题中挣扎，发明技术、发展概念、创造新的数学分支（如代数和分析）、完善和扩展其他的数学分支（如几何和数论），最终达到有足够成熟的工具来永远解决这个问题的地步。这真的是一本精彩的书，讲述了一个了不起的故事！它让我们看到，有时问题本身真的比解决方案要重要得多……

——GoodReads读者

序 v

引言 ix

第1章 四个问题 1

闲话 科妄 13

第2章 证明不可能 20

闲话 九个不可能性定理 30

第3章 尺规作图 35

闲话 战斧 54

第4章 第一次数学危机 55

闲话 牙签作图 68

第5章 倍立方 70

闲话 埃拉托斯特尼的中项尺 82

第6章 π的早期历史 83

闲话 大金字塔 98

第7章 求积法 100

闲话 列奥纳多·达·芬奇的半月形 110

第8章 阿基米德数 113

闲话 家中巧算π值 139

第9章 七边形、九边形以及其他正多边形 146

闲话 三等分角需要时间 153

第10章 二刻尺作图 155

闲话 克罗克特·约翰逊的七边形 167

第11章 曲线 170

闲话 木工角尺 185

第12章 以一当十 188

闲话 折纸 204

第13章 代数的黎明 207

闲话 库萨的尼古拉 230

第14章 韦达的分析方法 234

闲话 伽利略的圆规 245

第15章 笛卡儿的尺规算术 250

闲话 为π立法 271

第16章 笛卡儿和古典问题 274

闲话 霍布斯、沃利斯以及新代数 284

第17章 17世纪圆的求积 290

闲话 数字猎人 302

第18章 复数 313

闲话 τ革命 327

第19章 高斯的十七边形 329

闲话 镜子 345

第20章 皮埃尔·汪策尔 349

闲话 用其他工具可以作什么图？ 374

第21章 无理数和超越数 380

闲话 十大超越数 401

尾声 塞壬还是缪斯？ 403

注释 406

人名对照表 447

大卫·S. 里奇森 / David S. Richeson

美国迪金森学院数学教授、数学科普作家，《量子杂志》（Quanta Magazine）专栏作家，曾任美国数学协会月刊《数学视野》（Math Horizons）编辑，主要研究领域为拓扑学、动力系统、趣味数学和数学史。里奇森还开设了数学博客“Division by Zero”，与大众读者深入浅出地分享种种数学趣题。其作品《欧拉的宝石》（Euler’s Gem）荣获欧拉图书奖，并被美国图书馆协会《选择》期刊评为杰出学术专著。

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书籍介绍

不可能的事情和可能的事情一样，都能给人启发

圆规与直尺的伟大“戏法”，寻找数学瑰宝的千年之旅

◎ 编辑推荐

三等分角 | 倍立方 | 作正多边形 | 化圆为方

在四大尺规作图难题诞生之初，谁能想到这场探险会持续2000年之久？

多少英才献上毕生精力，欧几里得、阿基米德、韦达、笛卡儿、牛顿、高斯、达•芬奇、拿破仑、林肯……纷纷加入这场“烧脑”苦战。最后的证明结论居然是——“不可能”！

说起来容易，做起来难——这正是尺规作图难题的写照。让我们坐上数学时光机，看人类如何突破知识的边界，从貌不惊人的尺规作图中发现实数、复数、解析几何、代数、数论、微积分等诸多宝藏。尽管它已被证明无解，但其中蕴藏的思想，对今天的科学探索有着重要的启发。至今，仍有人念念不忘，试图从中发现更多奥秘。

◎ 本书特色

☆ 视角独特，探索尺规问题中的数学宝藏

☆ 可读性强，数学知识、奇闻趣事交错呈现

☆ 插图丰富，证明思路清晰简洁

☆ 威廉·邓纳姆（《微积分的历程》作者）、本·奥尔林（《欢乐数学》作者）、弗朗西斯·苏（前美国数学协会主席）、格伦·惠特尼（美国国家数学博物馆创始人）联袂推荐

◎ 内容简介

本书以数学史上四大著名的“古代问题”——化圆为方、三等分角、倍立方、作圆内接正多边形为基础，展现了两千多年来，数学家们为解决这些问题而留下的令人拍案叫绝的思想与成就。尺规作图“不可能”解决的问题成为欧几里得、笛卡儿、牛顿和高斯等数学巨擘攀登数学高峰的阶梯，其解决方法也延伸至整个数学领域，众多重大数学发现皆与它们息息相关。这段探索之旅将读者从古典时期引领到今天，纵观两千年来这四个无法解决的问题如何引导、启发人们数学思维的发展，并发掘了数学史中的种种细节。本书适合对数学、数学史感兴趣的读者，尤其是几何爱好者阅读。

◎ 专业书评

这是一个数学寻宝传奇。这本书是一个百宝箱：有趣的证明、历史的惊喜、丰富的故事、令天才和怪才苦苦探索的数学奥秘。这是数学史上的伟大戏法，读完让人心满意足。

——本·奥尔林《欢乐数学：一本充满“烂插画”的快乐数学启蒙书》作者

不可能性已被编织进数学的架构之中。这本书告诉大家，不可能的事情和可能的事情一样，都能给人启发。所有数学爱好者都会在这里挖掘到宝藏。

——弗朗西斯·苏，前美国数学协会主席，《为人类繁荣之数学》作者

鲜为人知的数学知识、丰富的插图、充实的引文，以及众多有趣的故事，让人眼前一亮。

——威廉·邓纳姆 《微积分的历程》作者

林肯、拿破仑、一场戏剧性的决斗、横跨两千多年的惊人智力角逐被连在一起，构成一段了不起的故事。作者展开古老而熟悉的逻辑挑战，同时发现更多耐人寻味的想法和细节，即使对非常了解数学的人来说，这本书都是新奇的。

——格伦·惠特尼，美国国家数学博物馆创始人

◎ 媒体评价

历史的叙述、珍贵的传记、有趣的闲话，让人读起来妙趣横生。这也是一部具有学术性的作品，书后附有丰富脚注，不会打断阅读节奏。

——罗伯特·拉德利，《数学视野》

作者清楚地解释了不可解的问题意味着什么，并援引了其他不可能的结果，详细介绍了用多种工具进行的几何构造，并讨论了出现的错误证明和科妄。

——《数学杂志》

作者的文字将带领读者踏上历史之旅，寻找这些问题的解决方法。数学新手和专业人士都会喜欢这本精心编写又有趣的书，强烈推荐。

——美国图书馆协会《选择》期刊

◎ 读者评论

本书很好地把历史和数学结合在一起。这里有许多有趣的历史人物，还有很多数学中的“闲话”，使这本书有了一定的深度。

——Amazon读者

在漫长的两千年中，我们看到一些伟大的思想在问题中挣扎，发明技术、发展概念、创造新的数学分支（如代数和分析）、完善和扩展其他的数学分支（如几何和数论），最终达到有足够成熟的工具来永远解决这个问题的地步。这真的是一本精彩的书，讲述了一个了不起的故事！它让我们看到，有时问题本身真的比解决方案要重要得多……

——GoodReads读者

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◎ 内容简介

本书以数学史上四大著名的“古代问题”——化圆为方、三等分角、倍立方、作圆内接正多边形为基础，展现了两千多年来，数学家们为解决这些问题而留下的令人拍案叫绝的思想与成就。尺规作图“不可能”解决的问题成为欧几里得、笛卡儿、牛顿和高斯等数学巨擘攀登数学高峰的阶梯，其解决方法也延伸至整个数学领域，众多重大数学发现皆与它们息息相关。这段探索之旅将读者从古典时期引领到今天，纵观两千年来这四个无法解决的问题如何引导、启发人们数学思维的发展，并发掘了数学史中的种种细节。本书适合对数学、数学史感兴趣的读者，尤其是几何爱好者阅读。

◎ 专业书评

这是一个数学寻宝传奇。这本书是一个百宝箱：有趣的证明、历史的惊喜、丰富的故事、令天才和怪才苦苦探索的数学奥秘。这是数学史上的伟大戏法，读完让人心满意足。

——本·奥尔林《欢乐数学：一本充满“烂插画”的快乐数学启蒙书》作者

不可能性已被编织进数学的架构之中。这本书告诉大家，不可能的事情和可能的事情一样，都能给人启发。所有数学爱好者都会在这里挖掘到宝藏。

——弗朗西斯·苏，前美国数学协会主席，《为人类繁荣之数学》作者

鲜为人知的数学知识、丰富的插图、充实的引文，以及众多有趣的故事，让人眼前一亮。

——威廉·邓纳姆 《微积分的历程》作者

林肯、拿破仑、一场戏剧性的决斗、横跨两千多年的惊人智力角逐被连在一起，构成一段了不起的故事。作者展开古老而熟悉的逻辑挑战，同时发现更多耐人寻味的想法和细节，即使对非常了解数学的人来说，这本书都是新奇的。

——格伦·惠特尼，美国国家数学博物馆创始人

◎ 媒体评价

历史的叙述、珍贵的传记、有趣的闲话，让人读起来妙趣横生。这也是一部具有学术性的作品，书后附有丰富脚注，不会打断阅读节奏。

——罗伯特·拉德利，《数学视野》

作者清楚地解释了不可解的问题意味着什么，并援引了其他不可能的结果，详细介绍了用多种工具进行的几何构造，并讨论了出现的错误证明和科妄。

——《数学杂志》

作者的文字将带领读者踏上历史之旅，寻找这些问题的解决方法。数学新手和专业人士都会喜欢这本精心编写又有趣的书，强烈推荐。

——美国图书馆协会《选择》期刊

◎ 读者评论

本书很好地把历史和数学结合在一起。这里有许多有趣的历史人物，还有很多数学中的“闲话”，使这本书有了一定的深度。

——Amazon读者

在漫长的两千年中，我们看到一些伟大的思想在问题中挣扎，发明技术、发展概念、创造新的数学分支（如代数和分析）、完善和扩展其他的数学分支（如几何和数论），最终达到有足够成熟的工具来永远解决这个问题的地步。这真的是一本精彩的书，讲述了一个了不起的故事！它让我们看到，有时问题本身真的比解决方案要重要得多……

——GoodReads读者